bagaimana menemukan tingkat perubahan maksimum


Jawaban 1:

Turunan arah memberikan laju perubahan ke arah tertentu.

Turunan arah pada dasarnya adalah komponen gradien ke arah itu. Jadi laju perubahan fungsi ke arah \ hat {\ mathbf {n}} ditentukan oleh

\ frac {df} {dn} = \ hat {\ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

Ini bisa terkait dengan aturan rantai itu

\ frac {df} {dn} = \ frac {\ partial f} {\ partial x} \ frac {\ partial x} {\ partial n} + \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ frac {\ sebagian y} {\ sebagian n}

\ frac {\ partial x} {\ partial n} dan \ frac {\ partial y} {\ partial n} dapat dipahami sebagai memindahkan jumlah n yang bergerak ke arah \ hat {\ mathbf {n}}, yaitu

x = n \ topi {n} _x

y = n \ topi {n} _y

Begitu

\ frac {df} {dn} = \ hat {n} _x \ frac {\ partial f} {\ partial x} + \ hat {n} _y \ frac {\ partial f} {\ partial y} = \ hat { \ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

Jadi kami telah menetapkan tingkat perubahan ke segala arah diberikan oleh

\ hat {\ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

Sekarang komponen dari setiap vektor maksimum ke arahnya sendiri. Untuk koordinat ortogonal kita bisa mendapatkan komponen dalam arah dengan perkalian titik. Perkalian titik maksimum pada sudut 0.

\ mathbf a \ cdot \ mathbf b = | a || b | \ cos \ theta \; \; \; \; (\ text {maksimum kapan} \ theta = 0)

Jadi laju perubahan arah gradien merupakan laju perubahan maksimum dibandingkan arah lain.

Setidaknya dengan asumsi gradien bukan \ mathbf 0.